理解数学大师——《知无涯者》

《知无涯者》

看这部电影，我感到非常的享受。感觉就像看完美功夫表演，干净利落，自然而又无懈可击，更关键的是非常真实，非常亲切。电影是根据真人真事改编，而且影片主人公斯里尼瓦瑟•拉马努金与我有缘（恕我自大），之前《数学史》上了解过这个特殊的天才，后来又恰好在微信公众号上看过他的传奇表述（夸大了些）。我一直在等待最完美的演绎，尽管故事可能平凡，甚至乏味枯燥，但是要完整，而且要引领我们进入一个更深层次的境界。电影做到了，我深深赞叹。 一直觉主义数学大师带来的新观念。 电影最重要的，最了不起的是，给我们充分地展现了两位数学家的风采，展现了两种思想观念，数学观念，甚至展现了数学的一些关键的魅力。无论是任何一点都足以使电影成为经典。 哈代的成就不是本片的关键，但是他发现了拉马努金，帮助了拉马努金，成就了拉马努金自然值得赞叹，尤其是拉马努金的方向本来就是与他不同的。 拉马努金究竟在数学史上作出了什么贡献呢？片中，他最吸引了哈代和好友利特尔伍德的，也是他自己最重视的成果，一直要哈达帮他发表的是“质数定理”：我甚至建立了一个函数恰好代表了以无穷级数的形式代表的小于X的质数。等于说只要我们提供一个数字，不管多大，他提供的公式都可以计算出到底比它小的有多少个质数。这个定理的确很吸引人，可能在比较小的数字上，这个公式成立，但是最终利特尔伍德通过代入检验，证明了是错误的。这个公式可能在形式上很美，所以很吸引数学大师，但是拉马努金并不能够提供传统意义上的“证明”。（哈代：你的理论确实很有意思，如果你把质数的近似值与质数个数对比，得出的结果是什么？结果会一直增长，即使数值高达一千，一百万。无穷大也对吗？是吗？你怎么证明？拉马努金：我给你证明了，我证明了。哈代：你没有。无论你感觉它有多么正确，在实际计算中，它就是错的，利特尔伍德先生代入了一个数字，结果显示，和实际质数的个数相比，用你的理论个数会少，而不是多。你的理论是错的。这也是在你能相信我，并做好证明之前，我们不能随意公布的原因，直觉只能帮你到这里。）最终帮助拉马努金获得三一学院的院士资格的是他的“整数拆分”，具体什么意思呢？影片也提供了一定的描述。简单的我们可以理解的拆分是这样的，4的划分等于5，意思就是4的组合方式有五种：1+1+1+1，3+1，2+1+1，2+2，和 4。看起来很简单啊。但是如果把划分的数字涨到100，就会有204226种不同的方法。数学家麦克马洪用了几周手算出来的。现在他能用公式解决，代入任意一个数，就能得出拆分的结果，就像变魔法一样。幸好在哈达的帮助下，拉马努金最终成功的证明了他的“整数拆分”公式。 很明显，质数定理和整数拆分之所以吸引数学家，就是因为通过提出一道简洁的公式，就把数的规律给找了出来，演绎出来。问题这样的“美”似乎毫无意义啊，其实恰好这样的“美”意义重大！片中，拉马努金和妻子贾纳姬有一段对话，试图跟妻子解释自己写的一大堆数学公式有什么用，以及这些公式的美：它们就像幅画，想像成一幅看不见颜色的画。对你来说可能不好看，但对我来说这就是一切，也许会有其他人，他们也能看到，并理解它们，对他们来说这个会很重要。除了看不到的颜色，我还想了解更多。如果凑近看，可以看到每颗砂砾，一颗一颗。想想看，万事万物都有规可循，光里的颜色，水面的反射，在数学中这些规律以不可思议的形式展现出来，真的非常美。 我不知道这是不是拉马努金的原话。按照文学的角度来说，他还没有说透彻清楚。他的意思，首先，数学的美是抽象的，是“看不见颜色的画”；其次，数学家能够看到这种“别人看不见的美”；最后，这种美在于它展示规律，揭示奥妙。按照我们“庸俗的实用性”来思考，就相当于经济学家发现了一到公式，可以完整地描述股票的变化，能够准确地把握明天的股票变化，那么我们会对这样“发财”公式如何渴慕呢？也许有人还纠结着，拉马努金的公式不能帮我们赚钱啊，甚至买菜都用不上啊。其实，恰好是这些“很抽象，很无为”的公式，在最顶尖的层面上不断做出贡献。比如我们的计算机，没有这些纯粹公式的支持，根本不可能造出来。而拉马努金提供的公式，可不是这样么一道而已。光就片中所言，他初次见面就塞给哈代整整两本写满这些公式的本子，而片末所言，他回到印度后的一年里又写出了一本。一本公式书里该记录了多少公式呀？而这些公式已经展示和尚未展示的秘密和作用，可能远远超乎想象，正如片中所言：在1976年，一本“遗漏的笔记本”被发现，里面包含着在其生命的最后一年里，拉马努金所发现的突破性新公式，其重要性可以和贝多芬的第十交响曲相媲美，一个世纪后，这些公式被用于解释黑洞的奥秘。很明显，哈代和利特尔伍德重视拉马努金的理由就摆在这里。 不过，拉马努金的公式有个问题，很大的问题，就是“没有证明”。而证明它得会耗尽一生啊。证明了其中某一条可能都足以名垂千古，但是对于哈代，也有个“名誉”的问题：（数学家伯蒂对哈代说）你大可花余生去证明这里面一半的公式，那样你就不会有任何独创性发现了。按理说，拉马努金得自己把它们证明了才行，但是他不行。为什么？他不是没有掌握证明的方法，虽然之前可能也存在证明能力的缺陷（可能一些公式不知道，一些证明方法没有掌握，一些证明的模式不清楚，就像哈代所说的：对于英国人和印度人而言，要互相理解并非易事。尽管都是说人话，但是英国人说的和印度人说的不同；即使同样用英语，同样用数学的语言，哈代的思维方式和拉马努金的思维方式也是不同的），之后可能没有时间（在剑桥上课，与哈代合作后应该是较好地掌握了学院的规范模式，但回印度只活了一年）。但是最关键是“证明这一方式与其天性向悖”。为什么？ 因为拉马努金是个虔诚的信徒，他是印度最高等级的种族（尽管贫穷）——婆罗门，是负责祭祀神明的种族。他非常虔诚，甚至用他的话说那些公式来自于家族供奉的女神，是毗湿奴的第四化身纳马吉里。之前哈代也很奇怪，他能够写下那么多的公式来，完全就是靠“直觉”。他开始不愿意说，只是回答不知道，因为他知道哈代是个“无神论者”。直到他充分感受到哈代对自己的友谊很真诚，他才说：你曾想知道我是如何才有这些灵感的，我的神——纳马吉里，是她对我说的。我熟睡时，她把那些公式放在我的舌头上，有时是在我祈祷时。正因为之前他不愿意说，后来才说，所以连哈代也相信他是诚实的。但是，我们站在我们的角度还是很难理解，这不是在颠覆我们的“信仰”吗？首先，我们应该站在哈代的角度来理解，哈代是个“无神论者”。正如他自己所说：我在上学时，记得一位牧师说：“上帝是存在的，因为他就像只风筝。你能感觉到线上的拉力，就会明白他高高在上。”而我说：“要是没风，风筝还能飞吗。”不……我不信上帝。我也不信什么东方古老智慧。但我的确相信你。很明显，哈代并没有动摇自己的信仰，正如拉马努金没有动摇自己的信仰一样。要明白，哈代相信拉马努金，是相信他所展示的“神迹”。接着，我们再以“顽固唯物主义”的角度继续探讨其中奥妙。从浅层次来看，现实世界里本来就存在很多相似的“天才”。而拉马努金一直都展示着这种天才：他在当会计时，根本就不用算盘，直接用心算。他在和麦克马洪比赛心算“58639”的平方和平方根，两人都可以直接说出来，比计算机还快。更重要的，不仅存在一种内在的“运算天赋”，拉马努金还可以直接地对“数”进行具体的分析。哈代在送拉马努金时，遇到出租车迷路，就抱怨车牌号“1729”太蠢。的士拉马努金当即告诉他：不，哈代，这号码很有趣。在可以用两个立方之和来表达，且有两种表达方法的数中，1729是最小的。想想看，我们即使是顺着来计算都恐怕毫无头绪，拉马努金可是倒着就把数分析清楚了。这种能力很明显是更高一个层次。不仅如此，他能够直接跳跃到结果，在剑桥三一学院，哈代把他送到数学家霍华德的课堂上去，结果拉马努金被叫上了讲台，完成霍华德在讲解的题目，他直接就写出了答案，没有任何过程。霍华德大吃一惊：但我还没有完全证明，那你怎么知道的。拉马努金说：我不知道，就这么写下来了。很明显，他具备直接描述规律的能力。以至于利特尔伍德这么评价：拉马努金的存在不亚于一个奇迹，他的才华已经超乎了我的想象，不要说雅克比了，他甚至能比得上牛顿。我现在开始相信，对于拉马努金，每一个正整数都是他的一个好朋友。既然拥有这样的“天赋”，在无穷无尽的数字中，找到规律，并且用公式描述出来，并不奇怪。用这种方式来理解，拉马努金的天赋，真的就是神迹，不管我们不是认为神创造了他，而是自然存在着这样的天才，自然创造了他。（至于自然为什么存在这样的人，我认为最大的可能就是“宇宙全息论”。把全人类的所有历程当成一个全息照，我们每个人都包含有整个宇宙的信息，只是因为我们相对太渺小，所以我们显示出来的信息总有缺陷。就像一面镜子里有个世界，镜子打碎了，每个碎片也都能够展现那个世界，只是有缺陷而已。当然这种见解似乎也在暗示一个统一科学与宗教的理论：神就是宇宙一切，我们都是神的一部分，我们每个人都能够记录整体，但是却只是展示出一部分来）。 拉马努金相信“一个方程式对我来说毫无意义，除非它表达了神的旨意”，所以，他不在乎证明，更在乎把神的意志记录下来，就像偷偷抄袭天书，打算把它送到人间去造福人类一样，肯定是抄得越多越好。所以他认为：我不太明白为什么我们要浪费时间去证明。哈代知道拉马努金那些公式的价值，也的确想把他的天书公之于众，但是正如哈代所言：我已经对它们很满意，但以现在的状态公布，我会被送进疯人院的。作为一名数学大师能够知道这些公式的价值，但是这些公式都没有足够的证明，换言之，相当于要让一群无神论者接受神的存在，却又掏不出半句理由来一样。哈代也不少药拉马努金全部证明，只要求他证明出一两个来，能够赢得数学家们的肯定，到时候，即使拉马努金的公式都没有验证，最少也能够成为“猜想”让后人能够继续去完成。否则就算哈代把它们发布出来，很快也会被人们忘记抛弃。 证明，到底有多重要？因为证明了，那才是数学家们，无神论者们能够接受的真理。即使与大量的验证对应，甚至如拉马努金跳跃式地完成霍华德的问题，对于霍华德而言，拉马努金的解答，可能更多的是“天赋的侮辱”；但对于数学家们来说，那只是“幸运”而已，仍不能进入真理的殿堂。所以，哈代与拉马努金的冲突，合作的障碍，都是围绕着这一点展开的（哈达：这就是走个过场，让大家更形式化地了解你，这样有利于未来的合作。我们需要用通用语言。你不会希望我们用泰米尔语交谈吧。数学和艺术一样，是一种通用语言，但是也需要大家公认的交流方式——证明，来达成沟通。而拉玛努金一直坚持的却是：我不想要这些公式做我的陪葬品）。但是，当拉玛努金证明了自己提出的“整数拆分”，完成了数学家们认为的“不可能”。哈代才有一点依据可以说服大家接受拉玛努金的特殊方式。以下是哈代说服三一学院的数学大师们通过拉玛努金的院士资格的演讲内容，我们借此来理解拉玛努金更深层次的贡献：这就是我们对整数拆分的研究，以及取得的重大突破。请注意，所有这一切是出自一个人。在我初遇他时，他知识的局限和他智慧的深奥一样让我感到震惊，对于拉马努金这项成果的重要性，以及对未来数学可能带来的影响，投票可能会见仁见智。但这个成果展现了一种深刻无比的独创性。利特尔伍德先生曾和我说过“每一个正整数都是拉马努金的一个好朋友”，对此我深信不疑。他曾告诉我：一个方程对他来说毫无意义，除非它表达了神的旨意。虽然我本人对此完全不能同意，但也许他是对的。因为这不正是我们追求纯数学所要证明的吗，我们只是在追求绝对完美过程中，无数个探索者。我们不是发明了这些公式，因为它们本身就存在，只是在等着那些，拉马努金之类的人，拥有无尽的智慧，来猜想和求证它们。因此，最后我不禁在想我们凭什么去质疑拉马努金，更别说质疑神了，谢谢大家。也就是说，拉玛努金的价值在于他和哥德巴赫提出猜想一样，这种猜想是“原创性”的。其实发现猜想，本身就是提出一种可能，以让人尝试证明，不管证明成功与否，都是价值非凡。而拉玛努金一下子提出了那么多的“猜想”，自然更加了不起了。 不仅如此，我认为其实影片还说明了另一番贡献，非常重要的贡献。片中，为了获得支持，哈达一开始就把拉玛努金送到反对让拉玛努金进学院的霍华德课堂上去；后来又把拉玛努金带到系主任，组合数学的先驱麦克马洪那里去（麦克马洪主任，他是学校中组合数学的先驱。碰巧也是你最高调的反对者之一，他说整数拆分不可能有公式）。麦克马洪认为拉玛努金不可能成功完成“整数拆分”，自己才可能成功，而唯一的办法是用“笨办法”：用手算，用漫长且痛苦的加法，到时候你们就会知道。你们俩空想出来的公式是错的，然后你就可以滚回你那与世隔绝的印度。然后我们就不用陪你在这猜谜语了。但是，当麦克马洪让拉玛努金计算200的拆分时，拉玛努金告诉他答案是3972998000000。而这和麦克马洪的“手算”结果很接近了，误差不到2%。所以麦克马洪自然也开始理解并接纳拉玛努金。我们仔细思考一下背后的问题。所谓的“整数拆分”的成功，自然不是拆分某个具体的数字，如200，因为那样的话，就是笨人用笨办法，花时间也能够做出来。所以，数学家们要研究“整数拆分”，其实就是要找到规律来，研究出一道公式，然后不论是多大的数都可以直接代入公式计算出拆分来。但是，要寻找规律，大家的办法就是先作出大量的尝试，比如从1拆到200（麦克马洪问200，说明他已经尝试了超过200的数字了，这该是多么痛苦 的工作，必须不出错，又必须长时间坚持），然后看看这些数量与被拆的数字有什么关系。这是笨办法，但也是“通俗”的办法，没有办法的办法。而拉玛努金可以直接地感知规律，甚至把规律表述出来，列出公式。他能够心算出结果，麦克马洪自然对他刮目相看，不再挖苦怀疑。所以，拉玛努金真正的贡献，是把这种“直觉主义”带入数学界。虽然直觉不一定准确，但是之前的数学大师，尤其是提出猜想，具备原创性的大师，可能也多少具备这样的天赋。 最后，影片最值得赞叹的是，它阐明了科学家的价值观。哈代把急于得到肯定，发表自己的两部公式的拉玛努金，拉到莱恩图书馆，告诉他：人这一生获得荣誉的方式有很多种，对我们来说，被选为院士就是一种。但在我看来，在我们离世之后，能在莱恩图书馆里，留下一笔遗产，才是最伟大的。这里有《保罗书信》，米尔顿的诗文，《摩根圣经》，但在我这个搞数学的看来，最重要的一部还是牛顿的《数学原理》，就像牛顿是我们领域的物质代表。而你的笔记是抽象的代表，牛顿也花了很长时间来证明自己，因此我们才有义务要把这些证明出来。一旦我们成功了，我相信总有一天，这些笔记在这里会有一席之地。现在你明白我们的重点是什么了吧。 很明显，这段话足以让我们明白，什么是蜗角虚名，什么是真正价值。就是在人类遗产中留下自己的一笔，其他都是次要的。而这一笔是绝对容不得虚假，也无法利用权力或者金钱去伪造的，只能靠“证明”，必须经得起检验。这对于沉溺蜗角虚名，蝇头微利的我们，对于“白活”的，猪猡的生活方式和态度，是最有震撼力的。人类的文明，不是拥有多大的权力，享受多大的财富那些人缔造的，最终不过是一个又一个精英累积出来的。正如司马迁所言“古者富贵而名摩灭,不可胜记，唯倜傥非常之人称焉。”那些人不过是电光火石，再多的辉煌也会被遗忘，但是精英创造的文明，是一点一滴积聚遗留下来，并且不断被继承和发扬。 二 精彩的次要内容。 因为就连最可有可无的，拉马努金的爱情故事也被展现得淋漓尽致，而且能够引人思索。影片一开始，拉马努金就已经结婚了，可是他和妻子的爱情有一道“缝隙”或者“鸿沟”，正如妻子所言“我听说比起人，你更喜欢数字”，很明显拉马努金的确如此。不过，作为一名天才，他也会害怕孤独，或者作为一名虔诚的信徒，不想伤害他人，所以他会对妻子说“一些人，不包括你”。虽然他也想带妻子离开印度，去英国。但是因为母亲的私心，害怕拉马努金的妻子跟着他去了英国伦敦，那么就永远不会回印度了，自己再也见不到儿子。一开始夫妻决定一起去英国，但是母亲一说“你自己想去，还是她劝你去的？所以你们要一起走吗？这都是她干的好事吗？她想一个人霸占你”，吓得妻子就不敢跟着走了；当妻子一直等着安排好一切的丈夫，写信让自己出发去伦敦相会的时候，母亲却把儿媳写给儿子的信都藏起来，害得这对小夫妻互相猜疑，同样感到被遗弃。妻子去投奔自家兄弟，拉马努金又想去自杀（更多原因是因为数学工作，加上患了重病）。即使两人最终团圆，也不过共度一年的时光。也许，我们会想，如果拉马努金带着妻子去了英国，那么也许他有人照顾，不会生病，可以活得更久，可以写出更多的公式，或者证明出更多的东西。但是，他已经写出那么多了，证明出那么重要的东西了，再多也没有什么更大的价值了，何况他本身赋予数学史，赋予科学史的启发已经够多了。也许，我们还会想，有人相依，不会感到太多的孤独和屈辱，他可能跟哈代可以更好的合作，可能更快地进入状态，更早的拿到院士的资格……但其实，正如拉马努金认为的自己是“遭天谴”，因为泄露了太多的“天机”，他留给世界的已经太多了。 不仅展示了爱情，也展示了友情。 在印度，为英国人弗朗西斯服务的纳拉亚那，他本身也有一定的数学素养，他聘请了什么学位都没有的拉玛努金帮助自己记账，就因为他找到他那些公式的价值。正因为纳拉亚那慧眼识英雄，聘请拉玛努金，并且纵容他（用心算），暗示他在哪里弄到纸张（在这里纸可不便宜，不过在码头上，你可以找到许多麻袋装的纸），鼓励他（拉马努金试过把自己的写的东西送给几乎全城的人看，但是没有人理解，他很失望。而纳拉亚那就鼓励他，告诉他马德拉斯市，名字源于“Mandarajya”——愚昧之邦。外面还有个大世界，有英格兰），并且通过老板弗朗西斯推荐，能够写信给哈代。因为他知道拉马努金公式的价值“这些成果非常重要，不该就这样埋没，它必须被公之于众”，也知道拉马努金的价值“如果你一个印度人，利用这些数学公式走到了顶峰，那即便是征服了我们的英国人也必须承认：我们的智慧能与他们匹敌”。没有他真的就可能没有拉玛努金的成就。 当然，还有拉玛努金与哈代的友情。哈代没有结婚，按照他的说法“我对这类事一直一窍不通，但还是想说，感情这种事，既没有证明，也没有定律来左右它的结果”，连爱情都没有的人，自然很难懂得关心朋友了。但是，影片展示了一种更加深刻的“革命友谊”。第一次见面时，明明是哈代邀请的拉玛努金，拉玛努金进入学院时，哈代刚好跟大家大谈拉玛努金的天赋。但是见到拉玛努金，相互认识后，他就冷冷地对拉玛努金说：我非常期待开始我们的工作，那么，明早十点在我办公室不见不散。然后转身就走了。连问候一下，帮忙安排食住也没有。吓得拉玛努金以为自己说错了话，得罪了他。他也丝毫不去问拉玛努金其他的事，是否有眷属，是否有生活上的困难（拉玛努金是个婆罗门，吃素的。连用猪油做的土豆都不能吃。学校的食物很丰富，但是他每天只能去菜市场买青菜，吃清汤寡水，导致营养不良），只是逼迫他工作，证明那些公式（这些很明显也是使拉玛努金患了肺结核的原因）。直到利特尔伍德提醒他要好好保护拉玛努金，直到拉玛努金自杀险些死掉，他才发现自己的问题。他对拉玛努金说：很抱歉，我没能成为你的传统意义上的好朋友，我知道你需要这样的朋友，但我并不擅长这个，从来就不擅长。生命对我来说就是……永远就是数学。其实，听到这句话，我们会想起拉玛努金妻子对他的评价。他们本来就是只在于数学，不在乎其他的人，又怎么懂得人情冷暖，懂得如何关心人呢？不过，我们没有办法去指责他们，相反，我们非常感叹两人的友谊，正因为英雄惺惺相惜，才有了拉玛努金的成就和贡献。所以，电影也在教育我们如何去对待这样的天才，如何理解他们的人生。 16.9.5

电影X学 微信公众号