day2 矩阵消元
计算Ax=b，消元法是所有计算机程序用到的方法，一般都会奏效，只要矩阵A是一个好矩阵。但有时也会失效。 所谓消元法，就是将第一行(方程一)乘以常数，然后减第二行(方程二)，从而消去变量x，第一行第一个称为pivot主元，操作过程是： 1. 第一步，第一行不变，第二行变成原第二行减第一行乘常数的得数，matlab就是先算等式左边再算右边的，消去主元1的x。 2. 第二步，第一行不变，第三行减去第二行第二个变量主元乘以常数正好消去第二行第二个变量主元，在第三行得出结果，对于一个3×3矩阵而言，如此三个(呈现左上→右下对角线)主元都求出，且对角线左侧全部为0。这个矩阵记作U，即上三角矩阵，这是计算机科学中最基础的计算。注意主元不能为0。到这一步也可以接着求出行列式，等于主元的积。 3. 第三步，回代，左侧矩阵消元时，等式右侧同步发生变化，执行相同操作，等式左右一块称之为增广矩阵。最终得到Ux=c。然后，对于3×3矩阵而言，从第三行直接得出z，从第二行代入z得出y，从第一行代入yz得出x。 消元法失效，即不能得到三个主元。例如说，左上角(1,1)位置或其他(对角线上)主元位置是0，此时只要交换行即可，对于方程组求解来说，交换行只是在内部换了一下顺序，计算的性质毫无变化。如果3×3矩阵第三主元得出0，或者类似情况的底下的行再也没有非0元素，那么矩阵就不可逆，消元失效。 3×3矩阵右乘列向量，得出的结果依然是列向量。1×3行矩阵(例如1,2,7)左乘3×3矩阵，方法是对行进行组合，1×第一行+2×第二行+3×第三行=1×3行矩阵。 如果用一个对角线为1，上下左右均为0的单位矩阵左乘待求解矩阵，则矩阵得数不变。 接下来引入消元矩阵的概念： 1. 第一步，未知矩阵左乘待求解矩阵，得出消元法第一步(案例中是从row2减去3×row1)后的矩阵。得出未知矩阵的原理是，第一步中（以3×3矩阵为例），第一行[1,0,0]，表示取一个待求解矩阵第一行而不取其他行；最后一行[0,0,1],，表示取一个待求解矩阵最后一行而不取其他行；第二行第一个元素取能让待求解矩阵第一行第一个元素与待求解矩阵第二行第一个元素相加抵消的值，第二行第二个元素取1，第二行第三个元素取0，即[-3,1,0]。检验结果，得数矩阵的行2列3元素，来自未知矩阵的行2和待求解矩阵的列3依次相乘的和。这里用来消元的未知矩阵，就被称为初等矩阵E，为标记是第一步用，目的是消去第二行第一个元素，记为E21。 2. 第二步，案例中消元法步骤是从row3减去2×row2。未知矩阵E32=第一行[1,0,0]，第二行[0,1,0]，第三行[0,-2,1]。 以上计算总结就是，E32(E21A)=U。 以下讲解矩阵乘法的核心内容，有什么矩阵能一次性从A得到U，这个问题的答案很重要。 答案是，矩阵相乘的顺序不能改变，但乘法的计算次序可以改变，因此方程改写为(E32E21)A=U。【定律：结合律】增减括号作为矩阵乘法的一项性质，对任何矩阵乘法都适用，此后线性代数的很多运算和证明都需要用到这个定律，证明比较繁琐可以在书中找到。 另一种初等矩阵，被称为置换矩阵。我们进行行交换，例如待求解矩阵如此，等式右侧得数矩阵交换了待求解矩阵的行1和行2，求最左侧的未知矩阵/置换矩阵P，此时置换矩阵是行1为[0,1]，行2为[1,0]。对单位矩阵进行行变换也可得出置换矩阵P。 另一种初等矩阵。我们进行列交换（这个在消元中用不到），得数矩阵交换了待求解矩阵的列1和列2，此时未知矩阵有一个花招。需要强调的是，未知矩阵左乘待求解矩阵，是行变换，而列变换需要未知初等矩阵右乘待求解矩阵。促成列交换的未知矩阵，依然是行1为[0,1]，行2为[1.0]，但是在等式左侧，待求解矩阵右边。 【定律】矩阵乘法的左右顺序不能改变，AB≠BA，不存在交换律。 矩阵U如何变回矩阵A？这就涉及到逆矩阵，这一讲的所有矩阵，都是可逆的。可逆inverses的含义是，乘以消元矩阵，得到单位矩阵，从而取消消元操作，让待求解矩阵什么也没有乘到(只乘了一个单位矩阵)。以例子的消元第一步为例，我们就需要row2加上3×row1，因此逆矩阵的第一行是[1,0,0]，第二行是[3,1,0]，第三行是[0,0,1]。逆矩阵记作E^-1，等式为E^-1E=I(I即单位矩阵)。
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